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354                           BIBLIOGRAPHIE

faisant voir des choses concrètes ; l'esprit s'empare de ces idées, les
agrandit par l'imagination, les généralise et les complète par une
conception, et les dépouillant ainsi de ce qu'elles ont de matériel ou de
particulier dans leur objet, les amène à cet état de perfection qu'on
nomme abstrait, où elles se prêtent merveilleusement aux combinaisons
de l'analyse. » Ces quelques mots définissent admirablement l'objet,
le fondement et la méthode des mathématiques.
   Il est intéressant d'examiner de plus près la méthode elle-même. On
dit ordinairement que le raisonnement par déduction est le propre des
mathématiques qui l'emploient exclusivement, et que c'est ce procédé
de démonstration qui donne aux résultats leur caractère absolu de cer-
titude, qu'elles ne partagent avec aucune autre science. Notre auteur ne
manque pas de nous avertir que la géométrie procède souvent par une
voie toute différente de la déduction, par exemple quand elle se sert de
la méthode des limites. Lorsque nous concluons des propriétés des
polygones inscrits à celles du cercle, n'y a-t-il qu'une simple déduction ?
La raison va-t-elle dans ce cas du général au particulier ? Il n'en est
point ainsi. A travers les variations d'une figure finie (le polygone
inscrit), l'intelligence cherche ce qui reste vrai dans l'infini, c'est-à-dire
lorsque le nombre des côtés du polygone devenant infiniment grand, le
cercle se substitue au polygone qui disparaît complètement. L'extension
de la pensée qui conduit ainsi du moins au plus, n'a rien (de déductif :
c'est une induction véritable. Cette vue de l'infini à travers le fini est
bien le procédé général par lequel l'esprit atteint l'universel, objet
propre de la science, ainsi que l'explique Aristote.
   Les définitions sont en mathématiques d'une importance capitale.
Combien de fois l'élève a-t-il dû les répéter avant d'en saisir toute la
portée et de ne leur faire dire que ce qu'elles contiennent réellement-
Lorsqu'il s'agit des premières notions, rien n'est plus difficile que de
donner de bonnes définitions. La plupart des définitions de la géométrie
sont des définitions de mots; mais celles de la ligne droite, du plan, de
l'angle ne sont-elles pas à un certain point de vue des définitions de
choses? C'est, je crois, le caractère mixte de ces définitions qui en fait
la difficulté. Quoiqu'il en soit, elles doivent, comme l'enseigne la philo-
sophie, comprendre tout le défini et ne s'appliquer qu'au seul défini. De
plus, il faut en général démontrer que la chose définie est possible et
unique. Aussi les définitions que l'on trouve dans les traités diffèrent
notablement lorsqu'il s'agit de ces premières notions : l'ouvrage de