Revue du Lyonnais » série 5 - n°23 ( 1897 ) » pp.185

                             BIBLIOGRAPHIE                             iSs
que les impossibilités de la géométrie non euclidienne se font particuliè-
ment sentir dans les figures plus ou plus complexes, à mesure qu'elles
s'allongent indéfiniment. Mais il n'avait point marqué, comme
M. Bonnel, l'endroit précis où éclatent ces impossibilités, ni découvert
la cause de ces impossibilités. Cette cause réside toute entière dans la
confusion de l'indéfini avec l'infini.
    Tous les théorèmes de Lob.nschewsky s'expliquent par la confusion
de ces deux éléments si différents et même si opposés, l'indéfini et
 l'infini. L'auteur le démontre sur trois ou quatre exemples tirés
des Etudes de ce géomètre ; mais, il va plus loin et explique de la
même façon d'autres paradoxes fort singuliers, comme l'antinomie de.
 Kant, le triangle équilatéral dont la base est égale à la somme' des deux"
autres côtés, et enfin la série alternée qui est tantôt convergente,
tantôt divergente, suivant qu'elle est dotée d'un nombre indéfini ou"
;nfini de termes. Comme conclusion de cette première partie, la géomé-
trie non euclidienne ou plutôt les géométries non euclidiennes, car
il y en a autant d'espèces qu'on le veut, ne sont qu'un long paralogisme,
se dévoilant, comme la plupart des paradoxes mathématiques, par la
confusion de l'indéfiniment grand avec l'infini ou de l'indéfiniment petit
avec zéro.                                                            . .
    C'est alors qu'intervient la question de l'atome, et c'est alors que le
livre devient particulièrement piquant. M. Bonnel définit l'atome comme
étant le plus petit de tous les indéfiniments petits, il en justifie la défi-
nition de la même manière qu'on justifie toutes les définitions générales
de la géométrie, et il l'applique directement aux parallèles. Si l'atome
est distinct de zéro, toutes les propriétés euclidiennes des parallèles
sont absolument vraies et les non euclidiennes absolument fausses.
Si l'atome est confondu avec zéro, c'est le contraire qui se produit.
Ces deux chapitres, qui sont à lire, tant ils sont saisissants d'intérêt,
forment la preuve de la première partie.
   L'auteur ne se borne pas là, bien que la question des hypothèses
paraisse jugée. Voici qu'il nous donne les premiers éléments d'une
théorie des atomes, pour montrer comment le reste des mathématiques
peut s'accommoder avec eux : c'est l'atome de longueur, de surface, de
volume, l'atome angulaire, circulaire, carré, l'atome de nombre, et
leurs propriétés immédiates. Là, tout est absolument nouveau, original,
inédit : définitions, énoncés, démonstrations. Et il faut convenir que
l'auteur en tire un parti merveilleux dans les conséquences. Avec