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LES ATOMES E T HYPOTHÈSES D'ANS LA GÉOMÉTRIE, par
M. J. F. BONNEL, professeur honoraire du Lycée Ampère. — Lyon,
1897, un vol. in-8°, Alexandre Rey, imprimeur-éditeur.
ET ouvrage n'est pas de ceux qui passeront inaperçus. L'auteur
a déjà publié deux volumes du même genre, l'un sur les
Définitions géométriques, l'autre sur la Géométrie rationnelle, qui faisaient
présager celui d'aujourd'hui. Dans ce dernier volume, on aperçoit faci-
lement deux questions bien distinctes et pourtant étroitement liées :
celle des hypothèses et celle des atomes, puis une multitude d'autres,
toutes inattendues, se rattachant naturellement aux deux principales.
La question des hypothèses y est traitée de main de maître.
M. Bonnel ramène les hypothèses géométriques à deux seulement :
celle d'Euclide, qui remonte à 2.300 ans, et celle de Lobatschewsky,
qui date de la première moitié du siècle. Il prend alors la définition non
euclidienne de la parallèle à une droite, et, à l'aide de théorèmes
admis par tous les géomètres, euclidiens et non euclidiens, il fait voir
qu'il existe toujours une sécante indéfinie pouvant' être menée par un
point à une droite. Cette sécante indéfinie d'ailleurs ne se confond pas
avec la parallèle, menée du même point à la même droite, elle fait
avec la parallèle un angle minuscule, qui est précisément égal à celui
qu'elle fait avec la droite ; cela entraîne une contradiction forcée de
l'hypothèse non euclidienne avec elle-même. La contradiction n'appa-
raît, il est vrai, qu'à une distance indéfiniment grande et elle repose
sur le fait d'un angle indéfiniment petit ; mais cela suffit, l'erreur
devait exister à l'état latent depuis le commencement : tous les para-
doxes en sont là .
M. Carton, dans un livre publié en 1870, avait déjà fait remarquer